A série de Taylor é uma importante ferramenta na matemática e na física, utilizada para aproximar funções complexas por meio de uma série de termos polinomiais. Essa série foi introduzida por volta de 1715 pelo matemático britânico Brook Taylor e amplamente aplicada em diversos campos da ciência, como na análise numérica, análise complexa e na resolução de equações diferenciais. A série de Taylor é baseada no princípio de que uma função suave e bem comportada pode ser aproximada, em uma determinada região, por uma soma infinita de termos polinomiais. Cada termo polinomial é calculado a partir das derivadas de ordem superior da função, avaliadas em um ponto específico dessa região. Essa região é delimitada por um ponto central conhecido como ponto de expansão. Os coeficientes dessa série são dados pelas derivadas dessa função em relação à variável independente, avaliadas no ponto de expansão. Quanto maior o número de derivadas consideradas, mais precisa será a aproximação. A série de Taylor é convergente para funções analíticas, ou seja, funções que possuem uma expansão em série de potências em torno de qualquer ponto. Essa ferramenta matemática é extremamente útil na resolução de equações diferenciais, na qual se busca encontrar uma solução exata para a equação, mas, muitas vezes, isso não é possível. A série de Taylor pode ser utilizada para aproximar a solução de uma equação diferencial, calculando um número finito de termos, tornando possível obtermos soluções numéricas que nos auxiliam a entender o comportamento da equação. Em resumo, a série de Taylor é uma ferramenta matemática poderosa e amplamente utilizada em diversas áreas, permitindo aproximar funções complexas por meio de termos polinomiais, facilitando o cálculo e resolvendo equações diferenciais de difícil solução.